Question

已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），并设F(x)＝f(x)ex，（1）若F（x）图象在x=0处的切线方程为x-y=0，求

已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），并设F(x)＝f(x)ex，（1）若F（x）图象在x=0处的切线方程为x-y=0，求b、c的值；（2）若函数F（x）是（-∞，+∞）上单调递减，则①当x≥0时，试判断f（x）与（x+c）2的大小关系，并证明之；②对满足题设条件的任意b、c，不等式f（c）-Mc2≤f（b）-Mb2恒成立，求M的取值范围．

Answer 1

（1）因为F(x)＝

x2+bx+c

ex

，所以F′(x)＝

?x2+(2?b)x+(b?c)

ex

，
又因为F（x）图象在x=0处的切线方程为x-y=0，
所以 

F(0)＝0 F′(0)＝1

，即

c＝0 b?c＝1

，解得 b=1，c=0．
（2）①因为F（x）是（-∞，+∞）上的单调递减函数，所以F′（x）≤0恒成立，
即-x²+（2-b）x+（b-c）≤0对任意的x∈R恒成立，
所以△=（2-b）²+4（b-c）≤0，所以4c≥b2+4≥2

b2×4

＝4|b|≥4b，即c＞b且c≥1，
令g（x）=f（x）-（x+c）²=（b-2c）x-c（c-1），由b-2c＜0，知g（x）是减函数，
故g（x）在[0，+∞）内取得最小值g（0），又g（0）=-c（c-1）≤0，
所以x≥0时，g（x）≤g（0）≤0，即f（x）≤（x+c）²．
②由①知，c≥|b|≥0，当|b|=c时，b=c或b=-c，
因为b²+4-4c≤0，即c²+4-4c≤0，解得c=2，b=2或b=-2，所以f（x）=x²±2x+2，
而f（c）-f（b）=c²+bc+c-b²-b²-c=c²+bc-2b²=（c+2b）（c-b），
所以f（c）-f（b）=-8或0，
不等式f（c）-Mc²≤f（b）-Mb²等价于f（c）-f（b）≤M（c²-b²），
变为-8≤M?0或0≤M?0恒成立，M∈R，
当|b|≠c时，c＞|b|，即c²-b²＞0，所以不等式f（c）-Mc²≤f（b）-Mb²恒成立等价于M≥

f(c)?f(b)

c2?b2

恒成立，等价于M≥(

f(c)?f(b)

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