Question

已知函数f（x）=x3-6x2+9x-3．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）定义：若函数h（x）在区间[s，t]（s＜t）

已知函数f（x）=x3-6x2+9x-3．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）定义：若函数h（x）在区间[s，t]（s＜t）上的取值范围为[s，t]，则称区间[s，t]为函数h（x）的“域同区间”．试问函数f（x）在（3，+∞）上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）因为f（x）=x³-6x²+9x-3，
所以f'（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）．
令f'（x）=0，可得x=1或x=3．
则f'（x），f（x）在R上的变化情况为：

x	（-∞，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函数	1	减函数	-3	增函数

所以当x=1时，慎芹函数f（x）有极大值为1，当x=3时，函数f（x）有极小值为-3．
（2）假设函数f（x）在（3，+∞）上存在“域同区间芹灶”[s，t]（3＜s＜t），
由（1）知函数f（x）在（3，+∞）上单调递增．
所以

f(s)＝s f(t)＝t.

即

s3?6s2+9s?3＝s t3?6t2+9t?3＝t.

也就是方程x³-6x²+9x-3=x有两个大于3的相异实根．
设g（x）=x³-6x²+8x-3（x＞3），
则g'（x）=3x²-12x+8．
令g'（x）=0，解得x1＝2?

2

3

3

＜3，x2＝2+

2

3

3

＞3．
当3＜x＜x₂时，g'（x）＜0，当x＞x₂时，g'（x）＞0，
所以函数g（x）在区间（3，x₂）上单调递减，在区间（x₂，+∞）上单调递宽首毕增．
因为g（3）=-6＜0，g（x₂）＜g（3）＜0，g（5）=12＞0，
所以函数g（x）在区间（3，+∞）上只有一个零点．
这与方程x³-6x²+9x-3=x有两个大于3的相异实根相矛盾，所以假设不成立．
所以函数f（x）在（3，+∞）上不存在“域同区间”．