Question

（2012?江苏）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位

（2012?江苏）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-120（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

Answer 1

（1）在 y=kx-

1

20

（1+k²）x²（k＞0）中，令y=0，得 kx-

1

20

（1+k²）x²=0．                  
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．
∴x＝

20k

1+k2

＝

20

1 k +k

≤

20

2

＝10，当且仅当k=1时取等号．
∴炮的最大射程是10千米．
（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka-

1

20

（1+k²）a²=3.2成立，
即关于k的方程a²k²-20ak+a²+64=0有正根．
由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，
故只需△=400a²-4a²（a²+64）≥0得a≤6．
此时，k=

20a± △

2a2

＞0．
∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．