Question

已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D

已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数y=kx（k＞0），他的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式；（3）若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标 ，写出符合题意的其中一条抛物线解析式 ，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数 ．

Answer 1

如图，图中用不同对应颜色标出了三个函数及其伴侣正方形

1. AB= 根号（2），只有一个伴侣正方形

2. y = 2/x, D(2,1),C(1,2),A(1,0),B(0,1)

3. 先根据D点和可能的情况尝试，DA= 根号（17），得到C（-1,3），将C, D 坐标代入 y = ax^2 + c, 得到 y = x^2 / 8 + 23/8, 然后分析如下：

    如果存在如黄线所示伴侣正方形，F点为D点在y轴投影，E点为C点在x 轴投影，DBF-ACE全等，设FB= a, DBF应用勾股定理，3^2 + a^2 = BC^2, AE = DF = 3 = AO - OE = a - OE, DE = a, AD = BC, 所以 D 点坐标为 (a-3,a), 代入 y = x^2 / 8 + 23/8, a = (a-3)^2 / 8 + 23/8,可以解得到a=7+/- 根号（17）,所以曲线有3个伴侣正方形