Question

已知函数f(x)=lg(1+mx)-lg(1-x)是奇函数

（1）求常数m的值及函数的定义域 （2）求证：f(x)是定义域上的单调增函数要有详细过程！！！！！！！！！！！！！！

Answer 1

因为是奇函数所以f(-x) = -f(x)lg(1-mx)-lg(1+x) = -lg(1+mx)+lg(1-x)(1-mx)/(1+x) = (1-x) /(1+mx) 1-x2= 1-m2x2m2=1m=±1m=-1时，为常数函数f（x）=0，是奇函数也是偶函数，舍去，所以m=1 1+x>0；1-x>0所以定义域为：-1<x<1 设：-1<x<y<1f(x)=lg(1+x)-lg(1-x) =lg[(1+x)/(1-x)] f(y)-f(x) =lg[(1+y)/(1-y)]-lg[(1+x)/(1-x)] = lg[(1+y)/(1+x)]+lg[(1-x)/(1-y)] ∵-1<x<y<1∴(1+y)>(1+x)∴(1+y)/(1+x)>1∴lg[(1+y)/(1+x)]>0∵-1<x<y<1∴(1-x)>(1-y)∴(1-x)/(1-y)>1∴lg[(1-x)/(1-y)]>0∴f(y)-f(x) >0是增函数

Answer 2

(1)f(x)=lg((1+mx)/(1-x))由于它是奇函数故lg((1+mx)/(1-x))=f(x)=-f(-x)=-lg((1-mx)/(1+x))=lg((1+x)/(1-mx))即lg((1+mx)/(1-x))=lg((1+x)/(1-mx))即(1+mx)/(1-x)=(1+x)/(1-mx)解得m=1(2)f(x)=lg((1+x)/(1-x))考察g(x)=(1+x)/(1-x)=-1+2/(1-x)由于1-x为减，故g(x)为增，因此f(x)=lg(g(x))也为增