Question

已知圆C:(X-1)^2+(y-2)^2=4及 直线L:x-ky+3=0当直线L被圆C截得 弦长为2

已知圆C:(X-1)^2+(y-2)^2=4及 直线L:x-ky+3=0当直线L被圆C截得 弦长为2倍根号2时。（1）求直线L 的方程（2）求过点（3,6）和点 （1,4）且与圆C相外切的圆的方程

Answer 1

已知圆C:(X-1)²+(y-2)²=4及 直线L:x-ky+3=0当直线L被圆C截得 弦长为2√2时。（1）求直线L 的方程（2）求过点（3,6）和点 （1,4）且与圆C相外切的圆的方程

解：(1)。园C的圆心坐标为(1，2)，半径r=2；
圆心C到直线L的距离(即弦心距)d=∣1-2k+3∣/√(1+k²)=∣4-2k∣√(1+k²)；
由弦心距、弦长和半径的关系d²=r²-(L/2)²得等式：
(4-2k)²/(1+k²)=4-(√2)²=2；(4-2k)²=2(1+k²)；k²-8k+7=(k-1)(k-7)=0；故得k₁=1，k₂=7.
所以L的方程为x-y+3=0或x-7y+3=0.
(2)。点A(3，6)不在园上。设过A的直线的方程为y=k(x-3)+6，即kx-y-3k+6=0；
圆心C(1，2)到该直线的距离=∣k-2-3k+6∣/√(1+k²)=2
即有∣4-2k∣=2√(1+k²)；16-16k+4k²=4(1+k²)；16k=12，故k=3/4，
即过A且与园C相切的直线的方程为y=(3/4)(x-3)+6=(3/4)x+15/4，或写成3x-4y+15=0；
过A的另一条切线的方程为x=3.
点B(1，4)在园C上，且点B与圆心C的横坐标相同，故过B的切线的方程为y=4.