Question

已知函数fx=[1/（2的x次方-1）+1/2]（1）求函数fx定义域（2）判断fx的奇偶性，并说明理由（3）证明：fx>0

Answer 1

(1)
函数f(x)=「1/(2^x-1)+1/2」x^3有意义，只需2^x-1≠0，从而x≠0
故函数f(x)定义域为{x|x≠0}；

(2)偶函数

因为 2^x-1≠0 所以 x≠0
且:f(-x)={1/[2^(-x)-1]+1/2}(-x)^3
大括号内第一项分子分母同乘以2^x可得下式
={2^x/[1-2^x]+1/2}(-x)^3
=-[2^x/(1-2^x)+1/2]x^3
=-[(2^x-1+1)/(1-2^x)+1/2]x^3
=-[-1+1/(1-2^x)+1/2]x^3
=-[-1/2+1/(1-2^x)]x^3
=-[-1/(2^x-1)-1/2]x^3
=f(x)
故由偶函数定义知f(x)为偶函数；

（3）
证明：
f(x)=x^3*[1/(2^x-1)+1/2]=x^3*(2^x+1)/[2(2^x-1)]

当x＞0时,x^3＞0, 2^x>1, 所以x^3*(2^x+1)/[2(2^x-1)]>0,
所以f(x)＞0

当x＜0时,x^3＜0, 2^x<1, 所以x^3*(2^x+1)/[2(2^x-1)]>0,
所以f(x)＞0

综上所述,f(x)＞0 得证.