Question

已知数列｛an｝的首项a1=5，前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*),证明：数列｛an+1}是等比数列

Answer 1

1、A(n 1)=(n 2)sn/n=S(n 1)-Sn
即nS(n 1)-nSn=(n 2)Sn
nS(n 1)=(n 2)Sn nSn
nS(n 1)=(2n 2)Sn
S(n 1)/(n 1)=2Sn/n
即S[(n 1)/(n 1)]/[Sn/n]=2
S1/1=A1=1

所以Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列

2、由1有Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列
所以Sn/n的通项公式是Sn/n=1*2^(n-1)
即Sn=n2^(n-1)

那么S(n 1)=(n 1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)
An=Sn-S(n-1)
=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)
=n*2*2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)
=[2n-(n-1)]*2^(n-2)
=(n 1)2^(n-2)
=(n 1)*2^n/2^2
=(n 1)2^n/4
=S(n 1)/4

所以有S(n 1)=4An