Question

已知椭圆的焦点坐标F1（-1.0),F2（1,0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P.Q两点，且PQ的绝对值=3

Answer 1

问题为：
已知椭圆的焦点坐标为F₁（-1，0），F₂（1，0），过F₂垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3．过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F₁MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由。
如果是，往下看。
解：设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1；已知c=1，故有a²-b²=1...........(1)
将x=1代入椭圆方程得1/a²+y²/b²=1，y²=b²(1-1/a²)=b²(a²-1)/a²=(b²/a²)(a²-c²)=b⁴/a²；
于是得y=±(b²/a)，即有|PQ|=2b²/a=3；故得a=(2/3)b²，代入(1)式得(4/9)b⁴-b²=1；
4b⁴-9b²-9=(4b²+3)(b²-3)=0，故b²=3；a²=b²+1=4；于是得椭圆方程为x²/4+y²/3=1.........(2)
设过F₂的直线方程为y=k(x-1)，即x=1+(y/k)；代入(2)式得：
(1/4)(1+y/k)²+y²/3-1=0；去分母得3(k+y)²+4k²y²-12k²=0；展开化简得(4k²+3)y²+6ky-9k²=0....(3)
因为△F₁MN的内切园的半径r=△F₁MN的面积S/△F₁MN的周长之半p；
而△周长之半p=(1/2)[∣MF₁∣+∣MF₂∣+∣NF₁∣+∣NF₂∣]=(1/2)(2a+2a)=2a=4
故r=S/4，那么当△F₁MN的面积S最大时r也就最大。
而△F₁MN的面积S=△F₁MF₂＋△F₁NF₂=S₁＋S₂=(1/2)(2c)(∣y₁∣+∣y₂∣)
设M(x₁，y₁)(y₁>0)，N(x₂，y₂)(y₂<0)；则△F₁MN的面积S=(1/2)(2c)(y₁-y₂)=c√[(y₁+y₂)²-4y₁y₂]
其中c=1，依维达定理由(3)得：y₁+y₂=-6k/(4k²+3)；y₁y₂=-9k²/(4k²+3)，代入上式得：
S=√[36k²/(4k²+3)²＋36k²/(4k²+3)]=[12∣k∣√(k²+1)]/(4k²+3)]
故内接园半径r=S/p=[3∣k∣√(k²+1)]/(4k²+3)]
r²=9k²(k²+1)/(4k²+3)²=(9k⁴+9k²)/(4k²+3)²=(9k⁴+9k²)/(16k⁴+24k²+9)
=9/16-[(9k²/2+81/16]/(4k²+3)²
显然，当k➔∞，即当MN⊥x轴，也就是直线方程为x=1时[(9k²/2+81/16]/(4k²+3)²➔0，这时，
也只有这时r²获得最大值9/16，此时内切园获得最大的面积S=9π/16.