Question

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1的离心率为√3/3,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，过F2的直线与C相交于A,B两点，

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1的离心率为√3/3,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，过F2的直线与C相交于A,B两点，△F1AB的周长为4√3，若椭圆C上存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线的方程

Answer 1

题目改为
已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/3,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，过F2的直线与C相交于A,B两点，△F1AB的周长为4√3，若椭圆C上存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线的方程.
解：△F1AB的周长为4a=4√3,a=√3，离心率c/a=√3/3，∴c=1,b=√2，
∴椭圆方程为x^2/3+y^2/2=1,①
设AB:x=my+1,②
代入①*6,2(m^2y^2+2my+1)+3y^2=6,
整理得(2m^2+3)y^2+4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-4m/(2m^2+3),
由①，x1+x2=m(y1+y2)+2=(6-4m^2)/(2m^2+3),
四边形OAPB为平行四边形,
<==>向量OP=OA+OB=(x1+x2,y1+y2)=((6-4m^2)/(2m^2+3),-4m/(2m^2+3)),这也是点P的坐标，
点P在椭圆上，∴[(6-4m^2)/(2m^2+3)]^2/3+[-4m/(2m^2+3)]^2/2=1,
去分母得2(6-4m^2)^2+48m^2=6(2m^2+3)^2,
2(36-48m^2+16m^4)+48m^2=6(4m^4+12m^2+9),
32m^4-48m^2+72=24m^4+72m^2+54,
8m^4-120m^2+18=0,
4m^4-60m^2+9=0,
解得m^2=(15土6√6)/2,m=土√[(15土6√6)/2],
∴所求直线方程是x=土√[(15土6√6)/2]+1.