已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:OE=OD
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在AC上取点F,使AF=AE
∵AD是角A的平分线
∴角EAO=角FAE
∵AO=AO
∴三角形AEO与AFO全等(两边夹角相等)
∴EO=FO ,角AOE=角AOF
∵CE是角C的平分线
∴角DCO=角FCO
∵角B=60°
∴角A+角C=180-60=120°
∴角COD=角CAO+角OCA=角A/2+角C/2=60度
∴角OCF=180-角AOF-角COD=180-60-60=60°
∴角OCF=角COD
∵OC=OC
∴三角形OCD与CFO全等 (两边夹角相等)
∴CF=CD
∴AC=AF+CF=AE+CD
即:AE+CD=AC
∵AD是角A的平分线
∴角EAO=角FAE
∵AO=AO
∴三角形AEO与AFO全等(两边夹角相等)
∴EO=FO ,角AOE=角AOF
∵CE是角C的平分线
∴角DCO=角FCO
∵角B=60°
∴角A+角C=180-60=120°
∴角COD=角CAO+角OCA=角A/2+角C/2=60度
∴角OCF=180-角AOF-角COD=180-60-60=60°
∴角OCF=角COD
∵OC=OC
∴三角形OCD与CFO全等 (两边夹角相等)
∴CF=CD
∴AC=AF+CF=AE+CD
即:AE+CD=AC
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