Question

几何题求助!

在矩形ABCD中，AB=十倍根号3，BC=10，若在AC，AB上各取一点M，N。使BM+MN最小，求此最小值。

Answer 1

很明显M点确定后N点也随之确定（因为M确定后，BM就确定，要令MN最小，必须使MN⊥AB），N为过M作AB的垂线MN的垂足
下面确定点M位置
作∠CAD的平分线AP，
∵∠CAP=∠CAB=30°
∴AC为∠BAP的角平分线
对任一点M，过M作MQ⊥AP于Q
则MN=MQ
∴要使BM+MN最小，须使BM+MQ最小
过B作AP的垂线，垂足为T，
则此垂线与AC的交点为使BM+MQ最小的点M，即所求点M
过M作AB的垂线，垂足即为所求N的位置
∴BM+MN的最小值＝BT=ABcos60°=15

Answer 2

作B关于AC的对称点O。易证OAB为正三角形。过O作ON垂直交AB于N，交AC于M。MN+BM=ON=15为最短。若有任意M'，N';
BM'+M'N'=OM'+M'N'>ON'>ON=MN+BM