Question

设函数f（x）=x2?(4a+1)x?8a+4，x＜1logax，x≥1（1）当a＝12时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）

设函数f（x）=x2?(4a+1)x?8a+4，x＜1logax，x≥1（1）当a＝12时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）是（-∞，+∞）上的减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）a=

1

2

时，f（x）=

x2?3x，x＜1 log 1 2 x，x≥1

，
当x＜1时，f（x）=x²-3x是减函数，所以f（x）＞f（1）=-2，即x＜1时，f（x）的值域是（-2，+∞）．（3分）
当x≥1时，f（x）=log

1

2

x是减函数，所以f（x）≤f（1）=0，即x≥1时，f（x）的值域是（-∞，0]．（5分）
于是函数f（x）的值域是（-∞，0]∪（-2，+∞）=R．（6分）
（Ⅱ） 若函数f（x）是（-∞，+∞）上的减函数，则下列①②③三个条件同时成立：
①当x＜1，f（x）=x²-（4a+1）x-8a+4是减函数，于是

4a+1

2

≥1，则a≥

1

4

．（8分）
②x≥1时，f（x）=log

1

2

x是减函数，则0＜a＜1．（10分）
③1²-（4a+1）?1-8a+4≥0，则a≤

1

3

．
于是实数a的取值范围是[

1

4

，

1

3

]．（12分）