Question

设函数f（x）=loga（x-3a）（a＞0，且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点Q（x-2a，-y

设函数f（x）=loga（x-3a）（a＞0，且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点Q（x-2a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．（1）写出函数y=g（x）的解析式；（2）若当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f（x）-g（x）|≤1，试确定a的取值范围；（3）把y=g（x）的图象向左平移a个单位得到y=h（x）的图象，函数F（x）=2a1-h（x）-a2-2h（x）+a-h（x），（a＞0，且a≠1）在[14，4]的最大值为54，求a的值．

Answer 1

解答：（本小题满分12分）
解：（1）设点Q的坐标为（x'，y'），则x'=x-2a，y'=-y，即x=x'+2a，y=-y'．
∵点P（x，y）在函数y=log_a（x-3a）图象上
∴-y'=log_a（x'+2a-3a），即y′＝loga

1

x′?a

∴g(x)＝loga

1

x?a

（2）由题意x∈[a+2，a+3]，则x-3a=（a+2）-3a=-2a+2＞0，

1

x?a

＝

1

(a+2)?a

＞0．
又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，|f(x)?g(x)|＝|loga(x?3a)?loga

1

x?a

|＝|loga(x2?4ax+3a2)|
∵|f（x）-g（x）|≤1∴?1≤loga(x2?4ax+3a2)≤1，r（x）=x²-4ax+3a²对称轴为x=2a
∵0＜a＜1∴a+2＞2a，则r（x）=x²-4ax+3a²在[a+2，a+3]上为增函数，
∴函数u(x)＝loga(x2?4ax+3a2)在[a+2，a+3]上为减函数，
从而[u（x）]_max=u（a+2）=log_a（4-4a）．
[u（x）]_min=u（a+3）=log_a（9-6a），
又0＜a＜1，则

loga(9?6a)≥?1 loga(4?4a)≤1

∴0＜a≤

9? 57

12

（3）由（1）知g(x)＝loga

1

x?a

，而把y=g（x）的图象向左平移a个单位得到y=h（x）的图象，则h(x)＝loga

1

x

＝?logax，
∴F(x)＝2a1?h(x)?a2?2h(x)+a?h(x)＝2a1+logax?a2+2logax+alogax＝2ax?a2x2+x，
即F（x）=-a²x²+（2a+1）x，又a＞0，且a≠1，F（x）的对称轴为x＝

2a+1

2a2

，又在[

1

4

，4]的最大值为

5

4

，
①令

2a+1

2a2

＜

1

4

?a2?4a?2＞0?a＜2?

6

(舍去)或a＞2+

6

；此时F（x）在[

1

4

，4]上递减，∴F（x）的最大值为F(

1

4

)＝

5

4

??

1

16

a2+

1

4

(2a+1)＝

5

4

?a2?8a+16＝0?a＝4?(2+

6

，+∞)，此时无解；
②令

2a+1

2a2

＞4?8a2?2a?1＜0??

1

4

＜a＜

1

2

，又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜

1

2

；此时F（x）在[

1

4

，4]上递增，∴F（x）的最大值为F(4)＝

5

4

??16a2+8a+4＝

5

4

?a＝

1±4 2

4

，又0＜a＜

1

2

，∴无解；
③令

1

4

≤

2a+1

2a2

≤4?

a2?4a?2≤0 8a2?2a?1≥0

?

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