Question

设函数f（x）=loga（x-3a）（a＞0且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点Q（x-2a，-y）

设函数f（x）=loga（x-3a）（a＞0且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点Q（x-2a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．（1）写出函数y=g（x）的解析式；（2）若当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f（x）-g（x）|≤1，试确定a的取值范围．

Answer 1

（1）由题意，
y=f（x）=log_a（x-3a），
-y=g（x-2a），
则g（x-2a）=-log_a（x-3a），
令t=x-2a，
则g（t）=-log_a（t-a），
则g（x）=-log_a（x-a）．
（2）∵f（x）与g（x）的定义域的交集为（3a，+∞），
∴[a+2，a+3]?（3a，+∞）
∴a+2＞3a＞0，
∴0＜a＜1，
∴|f（x）-g（x）|≤1可化为a≤x²-4ax+3a²≤

1

a

，
又∵x∈[a+2，a+3]时，x²-4ax+3a²=（x-2a）²-a²∈[4-4a，9-6a]
∴

0＜a＜1 a≤4?4a 1 a ≥9?6a

，
∴0＜a≤

4

5

．