Question

设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为-8，其导函数y=f′（x）的图象经过点（-2，0），（23，0），如图所示．（1

设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为-8，其导函数y=f′（x）的图象经过点（-2，0），（23，0），如图所示．（1）求函数的单调区间和极值；（2）若对x∈[-3，3]都有f（x）≥m2-14m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解答：解（1）∵f′(x)＝3ax2+2bx+c，且y＝f′(x)的图象经过点(?2，0)，(

2

3

，0)，
∴

?2+ 2 3 ＝? 2b 3a ?2× 2 3 ＝ c 3a

?

b＝2a c＝?4a

，
∴f（x）=ax³+2ax²-4ax，
由图象可知函数y＝f(x)在(?∞，?2)上单调递减，在(?2，

2

3

)上单调递增，在(

2

3

，+∞)上单调递减，由f(x)极小值＝f(?2)＝a(?2)3+2a(?2)2?4a(?2)＝?8，解得a＝?1，
∴f（x）=-x³-2x²+4x由（1）得f′（x）=-3x²-4x+4=-（3x+2）（x-2），
∴f′(x)＝0，则x＝?2或x＝

2

3

x	（-∞，-2）	-2	(?2， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，+∞)
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	-8	单调递增	40 27	单调递减

∴函数f(x)的单调递减区间是(?∞，?2)和( 2 3 ，+∞)，单调递增在区间是(?2， 2 3 )， 极小值是?8，极大值是 40 27 ．

（2）要使对x∈[-3，3]都有f（x）≥m²-14m恒成立，
只需f(x)min≥m2?14m即可．
由（1）可知函数y＝f(x)在[?3，?2)上单调递减，在(?2，

2

3

)上单调递增，在(

2

3

，3]上单调递减且f（-2）=-8，f（3）=-3³-2×3²+4×3=-33＜-8，
∴f（x）_min=f（3）=-33-33≥m²-14m?3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．