Question

已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为（　

已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为（　　）A．9B．3C．94D．92

Answer 1

设以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形的底边上的高分别为h₁，h₂，h₃，
则h₁=

1

2

AC，h₂=

1

2

BC，h₃=

1

2

AB，
即：阴影部分的面积为：

1

2

×

1

2

×AC×AC+

1

2

×

1

2

×BC×BC+

1

2

×

1

2

×AB×AB=

1

4

（AC²+AB²+BC²），
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AC²+BC²=AB²，AB=3，
所以阴影部分的面积为：

1

4

×2AB²=

1

2

×3²=

9

2

，
故选D．

Answer 2

解：在Rt△ABC中，AC的平方+BC的平方=AB的平方。
Rt△ABE是
等腰三角形
，AE=BE，AE的平方+BE的平方=AB的平方，
AE的平方=1/2AB的平方
S△ABE=1/2AE的平方=1/4AB的平方
同理S△AHC=1/2AH的平方=1/4AC的平方
S△BFC=1/2CF的平方=1/4BC的平方
所以S阴影=S△ABE+S△AHC+S△BFC=1/4AB的平方+(1/4AC的平方+1/4BC的平方)
=1/4AB的平方+1/4（AC的平方+BC的平方）
=1/2AB的平方
=4.5

Answer 3

知识点：等腰直角三角形的面积等于斜边平方的4分之1。
估计图形阴影部分是以两个直角边为底的两个等腰直角三角形的面积和：
s阴影=1/4×4^2=4。