Question

已知a是给定的实常数，设函数f（x）=（x-a） 2 （x+b）e 2 ，b∈R，x=a是f（x）的一个极大值点，求b的取

已知a是给定的实常数，设函数f（x）=（x-a） 2 （x+b）e 2 ，b∈R，x=a是f（x）的一个极大值点，求b的取值范围．

Answer 1

f′（x）=e x （x-a）[x 2 +（3-a+b）x+2b-ab-a]， 令g（x）=x 2 +（3-a+b）x+2b-ab-a， 则△=（3-a+b） 2 -4（2b-ab-a）=（a+b-1） 2 +8＞0， 于是，假设x 1 ，x 2 是g（x）=0的两个实根，且x 1 ＜x 2 ． （1）当x 1 =a或x 2 =a时，则x=a不是f（x）的极值点，此时不合题意． （2）当x 1 ≠a且x 2 ≠a时，由于x=a是f（x）的极大值点，故x 1 ＜a＜x 2 ． 即g（a）＜0 即a 2 +（3-a+b）a+2b-ab-a＜0 所以b＜-a 所以b的取值范围是：（-∞，-a）