Question

已知椭圆C： （a>b>0），过点(0，1)，且离心率为 ．(1)求椭圆C的方程；(2)A，B为椭圆C的左右顶点

已知椭圆C： （a>b>0），过点(0，1)，且离心率为 ．(1)求椭圆C的方程；(2)A，B为椭圆C的左右顶点，直线 l ： x =2 与 x 轴交于点D，点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，BP分别交直线 l 于E，F两点．证明：当点P在椭圆C上运动时， 恒为定值．

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

Answer 1

（1） ，（2）1．

试题分析：（1）求椭圆标准方程，基本方法为待定系数法.只需两个独立条件确定 即可. 由b=1， 可解得a=2，故椭圆的方程为 ，（2）证明椭圆定值问题，实际是以算代征.即需计算出 为一个常数．由于点D在x轴上，所以 ,即只需计算E，F两点纵坐标. 由直线AP： 与直线l：x=2 的交点得: ,即 ，同理可得 ，因此 = =1。 试题解析：（1）由题意可知，b=1， 又因为 ，且a2=b2+c2，解得a=2 所以椭圆的方程为                   4 （2）由题意可得：A（﹣2，0），B（2，0）． 设P（x0，y0），由题意可得：﹣2＜x0＜2， 所以直线AP的方程为              6 令 ，则 ，即         8 同理：直线BP的方程为 ，令 ，则 ， 即          10 所以 =                     ..12 而 ，即4y02=4﹣x02，代入上式， 所以|DE|·|DF|=1，所以|DE|·|DF|为定值1．                14