Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．（Ⅰ）求证：DM∥平面PCB； （Ⅱ）求直线AD与PB所成角；（Ⅲ）求三棱锥P-MBD的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ） （Ⅲ）

（I）取PB的中点F，联结MF、CF，∵M、F分别为PA、PB的中点． ∴MF∥AB，且MF= AB． ∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD， ∴MF∥CD且MF=CD． ∴四边形CDFM是平行四边形． ∴DM∥CF． ∵CF平面PCB， ∴DM∥平面PCB．                             4分 （Ⅱ）取AD的中点G，连结PG、GB、BD．                                     ∵PA=PD，       ∴PG⊥AD． ∵AB=AD，且∠DAB=60°， ∴△ABD是正三角形，BG⊥AD． ∴AD⊥平面PGB． ∴AD⊥PB．              8分 （Ⅲ） V P-MBD =V B-PMD        10分 V B-PMD = × × × × =      14分