Question

过山车是游乐场中常见的设施，如图是一种过山车的简易模型．它由水平轨道和在竖直平面内的若干个光滑圆形

过山车是游乐场中常见的设施，如图是一种过山车的简易模型．它由水平轨道和在竖直平面内的若干个光滑圆形轨道组成，A、B、C…分别是各个圆形轨道的最低点，第一圆轨道的半径R 1 =2.0m，以后各个圆轨道半径均是前一轨道半径的k倍（k=0.8），相邻两最低点间的距离为两点所在圆的半径之和．一个质量m=1.0kg的物块（视为质点），从第一圆轨道的左侧沿轨道向右运动，经过A点时的速度大小为v 0 =12m/s．已知水平轨道与物块间的动摩擦因数μ=0.5，水平轨道与圆弧轨道平滑连接． g取10m/s 2 ，lg0.45=-0.347，lg0.8=-0.097．试求：（1）物块经过第一轨道最高点时的速度大小；（2）物块经过第二轨道最低点B时对轨道的压力大小；（3）物块能够通过几个圆轨道？

Answer 1

（1）设经第一个轨道最高点的速度为v，由机械能守恒有 1 2 m v 20 = 1 2 m v 2 +2mg R 1 即有 v= v 20 -4g R 1 = 12 2 -4×10×2 =8m/s 故物块经过第一轨道最高点时的速度大小为8m/s． （2）设物块经B点时的速度为v B ，从A到B的过程由动能定理， -μmg( R 1 + R 2 )= 1 2 m v 2B - 1 2 m v 20 对物块经B点受力分析，由向心力公式有      F N -mg=m v 2B R 2 联立两式解得 N=mg+m v 20 -2μg( R 1 + R 2 ) R 2 =10+1× 12 2 -2×0.5×10×(2+1.6) 1.6 =77.5N 由牛顿第三定律可知，物块对轨道的压力大小为77.5N．　　　 故物块经过第二轨道最低点B时对轨道的压力大小为77.5N．　　　　　　　 （3）设物块恰能通过第n个轨道，它通过第n个轨道的最高点时的速度为v n ，有 m v 2n R n ≥mg 对物块从A到第n个轨道的最高点的全过程由动能定理得 -μmg[( R 1 + R 2 )+( R 2 + R 3 )+…( R n-1 + R n )]-2mg R n = 1 2 m v 2n - 1 2 m v 20 又因为  R n =k n-1 R 1 =0.8 n-1 R 1 由以上三式可整理得v 0 2 -2μg[（R 1 +R 2 +…+R n-1 ）+（R 2 +R 3 +…+R n ）]≥5gR n 即 v 20 -2μg[ R 1 (1- k n-1 ) 1-k + R 2 (1- k n-1 ) 1-k ]= v 20 -2μg R 1 (1+k)(1- k n-1 ) 1-k ≥5g k n-1 R 1 将v 0 =12m/s，μ=0.5，R 1 =2m，k=0.8，g=10m/s 2 代入上式，整理得0.8 n-1 ≥0.45， 即有 (n-1)≤ lg0.45 lg0.8 ≈3.6 ，解得  n≤4.6 故物块共可以通过4个圆轨道．