Question

如图在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E交AB的延长线于点F，（1）求证：EF是

如图在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E交AB的延长线于点F，（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AE=6，FB=4，求⊙O的面积．

Answer 1

（1）证明：连结AD、OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
而OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为R，
∵OD∥AE，
∴△FOD∽△FAE，
∴

OD

AE

=

FO

FA

，即

R

6

=

4+R

4+2R

，
解得R=4，
∴⊙O的面积=π?4²=16π．