Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：DE是⊙O的切线
（2）若AE=1，BD=2√5，求AB的长
图......你们自己画吧

Answer 1

1、∵AB是直径
∴∠ADB=90°即AD⊥BC
∵AB=AC，即△ABC是等腰三角形
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD，（等腰三角形底边上的高、中线和顶角的平分线三线合一）
∵DE⊥AC，那么∠ADE+∠CAD=90°
∠ACD=∠BAD=∠OAD=∠ODA(OA=OD)
∴∠ADE+∠ODA=∠ODE=90°
即OD⊥DE
∴DE是⊙O的切线
2、∵∠CAD=∠EAD=∠BAD
∠AED=∠ADB=90°
∴△AED∽△ADB
∴AE/AD=AD/AB，AB=AD²×AE=AB=AD²
∵AD²+BD²=AB²
那么AB+(2√5)²=AB²
AB²-AB-20=0
(AB-5)(AB+4)=0
∴AB=5
AB=-4(舍去）

Answer 2

连接AD
∵AB是直径
∴∠ADB=90°
∴sinB=AD/AB
即AD/6=√5/5，AD=6√5/5
∵AD⊥BC，AB=AC
∴AD是等腰三角形ABC的中线，即BD=CD=√(AB²-AD²)=√[6²-(6√5/5)²]=12√5/5
∵DE⊥AC
∴射影定理：AD²=AE×AC(可以证明△ACD∽△ADE得)
AE=AD²/AC=(6√5/5)²/6=6/5

sinB=√5/5，cos2B=1-2sin²B=1-2×(√5/5)²=3/5
∵∠FAE=∠C+∠B=2∠B
∴在Rt△AEF中
cos2B=AE/AF
AF=AE/cos2B=(6/5)/(3/5)=2

追问

那个是第一问？？？哪个是第二问？