Question

矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE，点P是AE上的一点，且BP=BE

矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE，点P是AE上的一点，且BP=BE，连接B′P．（1）求B′D的长；（2）求证：四边形BPB′E的形状为菱形；（3）若在折痕AE上存在一点到边CD的距离与到点B的距离相等，请直接写出此相等距离的值．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=90°， 由折叠的性质可得：AB′=AB=5， 在Rt△ADB′中，B′D= AB ′ 2 -A D 2 =3； （2）证明：由折叠的性质可得：BP=B′P，BE=B′E， ∵BP=BE， ∴BP=B′P=B′E=BE， ∴四边形BPB′E的形状为菱形； （3）存在． ∵四边形BPB′E的形状为菱形， ∴BE ∥ B′P，BP=B′P， ∴BC⊥CD， ∴B′P⊥CD， ∴点P到边CD的距离与到点B的距离相等， 设BP=x， 则B′E=x， ∵B′C=CD-B′D=5-3=2，CE=BC-BE=4-x， 在Rt△B′CE中，B′E 2 =CE 2 +B′C 2 ， ∴x 2 =（4-x） 2 +2 2 ， 解得：x=2.5， ∴此相等距离的值为2.5．