Question

如图，Rt△ADE是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CE交斜边AB于点F，CE的延长线交BD于点G．（1）试说

如图，Rt△ADE是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CE交斜边AB于点F，CE的延长线交BD于点G．（1）试说明∠ACE=∠ABD；（2）设∠ABC=α，∠CAE=β，试探索α、β 满足什么关系时，△ACF与△GBF是全等三角形，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵Rt△ADE是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到， ∴旋转角=∠CAE=∠BAD，Rt△ADE≌Rt△ABC， ∴AC=AE，AB=AD， 在△ACE中，∠ACE= 1 2 （180°-∠CAE）， 在△ABD中，∠ABD= 1 2 （180°-∠BAD）， ∴∠ACE=∠ABD； （2）∵△ACF≌与△GBF，∠ACE和∠ABD是对应角，∠AFC和∠GFB是对顶角， ∴BF=CF， ∴∠BCF=∠ABC=α， 又∵∠ACE= 1 2 （180°-∠CAE）= 1 2 （180°-β）， ∴∠ACB=∠BCF+∠ACE=α+ 1 2 （180°-β）=90°， 整理得，2α=β．