Question

直线l经过点P（3，2）且与x轴正半轴及y轴正半轴分别交于点A、B．（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程

直线l经过点P（3，2）且与x轴正半轴及y轴正半轴分别交于点A、B．（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程．（2）已知直线m的方程为5x+y-1=0，在（1）的条件下，求直线l到直线 m的角θ的大小．

Answer 1

（1）设直线l的方程y-2=k（x-3），∴A(3?

2

k

，0)，B（0，2-3k）．
设△AOB面积为S，∴S＝

1

2

ab＝

1

2

(3?

2

k

)(2?3k)＝

1

2

[12+(?9k?

4

k

)]．（4分）
∵直线l与x、y轴正半轴相交，∴k＜0．∴-9k＞0，?

4

k

＞0，
∴-9k-

4

k

≥2

(?9k)(? 4 k )

＝2

36

＝12（6分）
当且仅当-9k=-

4

k

，即k=-

2

3

时取“=”，即S有最小值，
∴所求直线方程为y-2=-

2

3

（x-3），即2x+3y-12=0  （8分）
（2）∵直线m：5x+y-1=0的斜率k′=-5，由（1）知直线l的斜率k=-

2

3

∴tanθ=

k′?k

1+k′k

＝

?5?(? 2 3 )

1+(?5)?(? 2 3 )

＝?1，又θ∈（0，π）故θ=

3

4

π  （12分）
注：第（1）问“截距式”及求最值的其它方法请参照给分．