Question

（2014?天河区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC交于点E，连接D

（2014?天河区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC交于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F，BD=BF．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC=12，AD=8，求DE的长．





Answer 1

（1）证明：连结OE、BE，如图，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BED=90°，
∴BE⊥DF，
∵BD=BF，
∴DE=EF，
而OD=OB，
∴OE为△DBF的中位线，
∴OE∥BF，
∵∠ACB=90°，
∴∠OEA=90°，
∴OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为R，则BD=2R，OE=R，
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴

AO

AB

=

OE

BC

，即

R+8

2R+8

=

R

12

，解得R₁=8，R₂=-6（舍去），
∴AO=AD+OD=16，OE=8，
在Rt△AOE中，cos∠AOE=

8

16

=

1

2

，
∴∠AOE=60°，
∴

DE

的长度=

60?π?8

180

=

8

3

π．