Question

如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点．（1）四边形EFGH是平行四边形吗，为什

如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点．（1）四边形EFGH是平行四边形吗，为什么？（2）若使四边形ABCD对角线相等，那么四边形EFGH为菱形吗？（3）当四边形EFGH为矩形，正方形时，那么四边形ABCD各应满足什么条件？（4）请补上你所认为四边形ABCD应满足的条件，证明四边形EFGH为矩形．

Answer 1

解答：解：（1）四边形EFGH是平行四边形，
连接AC、BD，（1分）
∵在△ABD中，E、H分别为AB、AD的中点，
∴EH平行且等于

1

2

BD．
∵在△BCD中，F、G分别为BC、CD的中点，
∴GF平行且等于

1

2

BD．                                                   （2分）
∴EH平行且等于GF．
∴四边形EFGH是平行四边形．                                             （1分）

（2）四边形EFGH是菱形．                                                （2分）

（3）当四边形EFGH为矩形时，
AC⊥BD（四边形ABCD为菱形、正方形或者对角线互相垂直的四边形）；（1分）
当四边形EFGH为正方形时AC、BD互相垂直且相等（1分）

（4）设AC⊥BD于O，EF、BD交于M，EH、AC交于N，
根据（1）的推理可得EF∥AC，EH∥BD，
∴EMON为平行四边形．
∵AC⊥BD，∴∠MON=90°．
∴EMON为矩形，∴∠HEF=90°．
同理可得，∠EHG=90°，∠EFG=90°．
∴四边形EFGH为矩形．      （2分）