Question

设数列{an}满足a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*，则数列{an}的前n项和为______

设数列{an}满足a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*，则数列{an}的前n项和为______．

Answer 1

∵a_n+1=4a_n-3n+1，
∴a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），
∵a₁=2，
∴a₁-1=1，
∴数列{a_n-n}是以1为首项，公比为4的等比数列．
∴an?n＝1×4n?1=4^n-1．
即an＝4n?1+n．
∴Sn＝(1+1)+(4+2)+(42+3)++(4n?1+n)
=（1+4+4²+…+4^n-1）+（1+2+3+…+n）
=

1(1?4n)

1?4

+

n(n+1)

2

=

n(n+1)

2

+

4n?1

3

．
故应填

n(n+1)

2

+

4n?1

3

．

Answer 2

∵an+1=4an-3n+1，
∴an+1-（n+1）=4（an-n），
∵a1=2，
∴a1-1=1，
∴数列{an-n}是以1为首项，公比为4的等比数列．
∴an-n＝1×4n-1=4n-1．
即an＝4n-1+n．
∴Sn＝(1+1)+(4+2)+(42+3)++(4n-1+n)
=（1+4+42+…+4n-1）+（1+2+3+…+n）
=[n(n+1)]/2 + [(4∧n)-1]/3