Question

已知函数f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求证：当x＞0时，f（x）＜0；（Ⅱ）求函数f（x）的

已知函数f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求证：当x＞0时，f（x）＜0；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）求证：（1+12）（1+14）…（1+12n）＜e．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：∵a=1，∴f（x）=ln（x+1）-x，
∴f′（x）=

1

x+1

-1=

?x

x+1

，
∴当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴f（x）＜f（0）=0．
（Ⅱ）解：∵f（x）=ln（x+1）-ax，∴f（x）的定义域为（-1，+∞），
∴f′（x）=

1

x+1

-a=

(1?a)?ax

x+1

，
∴①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在（-1，+∞）单调递增；
②当a＞0时，x∈（-1，-1+

1

a

）上，f′（x）＞0，x∈（-1+

1

a

，+∞），f′（x）＜0，
∴f（x）在（-1，-1+

1

a

）单调递增，在（-1+

1

a

，+∞）单调递减，
（Ⅲ）证明：要证：（1+

1

2

）（1+

1

4

）…（1+

1

2n

）＜e，两边取以e为底的对数，即只需证明
ln（1+

1

2

）+ln（1+

1

4

）+…+ln（1+

1

2n

）＜1，
由（Ⅰ）可知，ln（x+1）＜x（x＞0），分别取x=

1

2

，

1

4

，…，

1

2n

，得到
ln（1+

1

2

）＜

1

2

，ln（1+

1

4

）＜

1

4

，…，ln（1+

1

2n

）＜

1

2n

，
将上述n个不等式相加，得
ln（1+

1

2

）+ln（1+

1

4

）+…+ln（1+

1

2n

）＜

1

2

+

1

4

+…+

1

2n

=1-

1

2n

＜1．
从而结论成立．