导数的应用：利用函数单调性证明下列不等式
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(1)构造函数f(t)＝(lnt)/t,
则f'(t)＝(1-lnt)/t^2.
f'(t)>0→0<t<e; f'(t)<0→t>e.
即t>e时,f(t)单调递减.
∴e<b<a时,f(b)>f(a).
∴(lnb)/b>(lna)/a,
即b^a>a^b.
(2)构造函数f(t)＝(sint)/t,
则f'(t)＝(tcost-sint)/t^2.
设上式分子为g(t)＝tcost-sint,
则g'(t)＝-tsint<0 (0<t<π/2)
即g(t)在0<t<π/2时单调递减，
∴g(t)<g(0)＝0.
从而知f'(t)<0,即f(t)单调递减.
∴0<x<π/2时有f(x)>f(π/2),
∴(sinx)/x>sin(π/2)/(π/2)＝2/π
∴sinx>2x/π。
则f'(t)＝(1-lnt)/t^2.
f'(t)>0→0<t<e; f'(t)<0→t>e.
即t>e时,f(t)单调递减.
∴e<b<a时,f(b)>f(a).
∴(lnb)/b>(lna)/a,
即b^a>a^b.
(2)构造函数f(t)＝(sint)/t,
则f'(t)＝(tcost-sint)/t^2.
设上式分子为g(t)＝tcost-sint,
则g'(t)＝-tsint<0 (0<t<π/2)
即g(t)在0<t<π/2时单调递减，
∴g(t)<g(0)＝0.
从而知f'(t)<0,即f(t)单调递减.
∴0<x<π/2时有f(x)>f(π/2),
∴(sinx)/x>sin(π/2)/(π/2)＝2/π
∴sinx>2x/π。
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