Question

设函数f（x）满足xf′（x）-3f（x）=-6x2，由曲线y=f（x）与直线x=1及x轴所围成的平面图形D绕x轴旋转一周

设函数f（x）满足xf′（x）-3f（x）=-6x2，由曲线y=f（x）与直线x=1及x轴所围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则f（x）=______．

Answer 1

∵由xf′（x）-3f（x）=-6x²，得：f′(x)?

3

x

f(x)＝?6x，
这是一阶非齐次线性微分方程，其中：P(x)＝?

3

x

，Q（x）=-6x，
∴f(x)＝e∫

3

x

dx(?∫6xe?∫

3

x

dxdx+C)=Cx³+6x²，其中C为任意常数，
从而，由曲线y=f（x）与直线x=1及x轴所围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为：
V(c)＝π

∫

1 0

f2(x)dx＝π(

C2

7

+2C+

36

5

)，
令：V′(c)＝π(

2C

7

+2)＝0，解得：C=-7，
而：V″(C)＝

2π

7

＞0，故：C=-7为最小点，
因此所求函数为：f（x）=6x²-7x³．