Question

已知函数f（x）满足3f（x）＞xf′（x），f′（-x）=f′（x），则f（x）的零点个数最多有（　　）A．0B．1

已知函数f（x）满足3f（x）＞xf′（x），f′（-x）=f′（x），则f（x）的零点个数最多有（　　）A．0B．1C．2D．3

Answer 1

令g（x）=

f(x)

x3

，则g′（x）=

x3f′(x)?3x2f(x)

x6

=

x2[xf′(x)?3 f(x)]

x6

∵3f（x）≥xf′（x），
∴xf′（x）-3f（x）≤0
故x≠0时，g′（x）＜0恒成立
故函数g（x）=

f(x)

x3

在（-∞，0）和（0，+∞）上均为减函数
故g（x）=

f(x)

x3

在（-∞，0）和（0，+∞）上至多各有一个零点；
即f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上至多各有一个零点；
由f′（-x）=f′（x），则f（-x）=-f（x），即函数f（x）为奇函数，故f（0）=0
故f（x）的零点个数最多有3个
故选D