Question

已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点 (- 3 4 ，0) 成中心对称，对任意实数x都有 f(x)=- 1

已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点 (- 3 4 ，0) 成中心对称，对任意实数x都有 f(x)=- 1 f(x+ 3 2 ) ，且f（-1）=1，f（0）=-2，则f（0）+f（1）+…+f（2010）=______．

Answer 1

∵ f(x)=- 1 f(x+ 3 2 ) ， ∴ f(x+3)=- 1 f(x+ 3 2 ) =f(x) ，所以，f（x）是周期为3的周期函数． f（2）=f（-1+3）=f（-1）=1，又 f(-1)=- 1 f(-1+ 3 2 ) ， ∴ f( 1 2 )=-1 ， ∵函数f（x）的图象关于点 (- 3 4 ，0) ， ∴ f(1)=-f(- 5 2 )=-f( 1 2 )=1 ， ∴f（0）+f（1）+…+f（2010）=f（2010）=f（0）=-2． 故答案为：-2