Question

定义在R上的函数f(x)的图像关于(-3/4,0)中心对称

定义在R上的函数f(x)的图像关于(-3/4,0)中心对称 ,对任意的实数x都有f(x)=-f(x+3/2) 并且f(-1)=1 f(0)=-2 则f(1)+f(2)....+f(2008)=1 为什么？

Answer 1

由f（x）=—f（x+3/2），得f（x+3）=f（x），故f（x）是周期为3的函数。因为f（x）关于（-3/4，0）中心对称，所以f（x）=-f（-3/2 - x
）=-f（x=3/2），得f（x）=f（-x），即f（x）为偶函数。所以f（1）=f（-1）=f（2）=1，f（3）=f（0）=-2，因此原式=f（1）=1。

Answer 2

图像上任意一点a(x,f(x))
则其关于(-3/4,0)
中心对称
的点
b(-3/2-x,-f(x))也在图像上
所以：
-f(x)=f(-3/2-x)
f(x)=-f(-3/2-x)
而：f(x)=-f(x+3/2)
所以：
f(-3/2-x)＝f(x+3/2)
所以函数为
偶函数
！
f(x)=-f(x+3/2)
=f(x+3)
函数周期为3
f(3)=f(0)=-2
f(1)=f(-1)=1
f(2)=f(-1)=1
f(4)=f(1)
f(5)=f(2)
f(6)=f(3)
f(7)=f(4)=f(1)
..
..
f(2007)=f(2003)=..=f(3)
所以：
f(1)+f(2)....+f(2008)
=[f(1)+f(2)+f(3)]+[f(1)+f(2)+f(3)]+..+f(2008)
=0+0+..+0+1
=1

Answer 3

图像上任意一点a(x,f(x))
则其关于(-3/4,0)中心对称
的点
b(-3/2-x,-f(x))也在图像上
所以：
-f(x)=f(-3/2-x)
f(x)=-f(-3/2-x)
而：f(x)=-f(x+3/2)
所以：
f(-3/2-x)＝f(x+3/2)
所以函数为偶函数！
f(x)=-f(x+3/2)
=f(x+3)
函数周期为3
f(3)=f(0)=-2
f(1)=f(-1)=1
f(2)=f(-1)=1
f(4)=f(1)
f(5)=f(2)
f(6)=f(3)
f(7)=f(4)=f(1)
..
..
f(2007)=f(2003)=..=f(3)
所以：
f(1)+f(2)....+f(2008)
=[f(1)+f(2)+f(3)]+[f(1)+f(2)+f(3)]+..+f(2008)
=0+0+..+0+1
=1

Answer 4

中心对称条件可以得出
f(x-3/4)=-f(-x-3/4)
====
f(x)=-f(-x-3/2)
f(x)=-f(x+3/2)====f(x)=-f(x-3/2)
f(x+3/2)=-f(x+3)
f(x)=f(x+3)可以看出这是周期为3的函数.
要求出f(1)+f(2)....+f(2008)只要求出f(1),f(2),f(3)
f(1)=-f(-1/2)=f(-1)=1
f(2)=f(-1)=1
f(3)=f(0)=-2
.....