Question

已知：l 1 ：ax-2y-2a+4=0，l 2 ：2x+a 2 y-2a 2 -4=0，其中0＜a＜2，l 1 、l 2 与两坐标轴围成一个四边

已知：l 1 ：ax-2y-2a+4=0，l 2 ：2x+a 2 y-2a 2 -4=0，其中0＜a＜2，l 1 、l 2 与两坐标轴围成一个四边形．（1）求两直线的交点；（2）a为何值时，四边形面积最小？并求最小值．

Answer 1

解（1）：求两直线的交点 ax-2y=2a-4 2x+ a 2 y=2 a 2 +4 ， D= . a 2 -2 a 2 . =a 3 +4， D x = . 2a-4 2 a 2 +4 -2 a 2 . =2a 3 -4a 2 +4a 2 +8=2（a 3 +4）， D y = . a 2 2a-4 2 a 2 +4 . =2（a 3 +4） ∴交点为（2，2）； （2）由l 1 ：ax-2y-2a+4=0，l 2 ：2x+a 2 y-2a 2 -4=0， 令x=0，y=0得，l 1 ： x=2- 4 a ，y=2-a ； l 2 ： x= a 2 +2，y=2+ 4 a 2 ， 则 s= 1 2 (2-a)×2+ 1 2 (2+ a 2 )×2= a 2 -a+4=(a- 1 2 ) 2 + 15 4 ≥ 15 4 ． 所以 S min = 15 4 ． 此时a= 1 2 ．