Question

（2010?浦东新区二模）直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，且AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，M是

（2010?浦东新区二模）直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，且AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，M是侧棱CC1上一点，设MC=h．（1）若BM⊥A1C，求h的值；（2）若直线AM与平面ABC所成的角为π4，求多面体ABM-A1B1C1的体积．

Answer 1

解：（1）以A为坐标原点，以射线AB、AC、AA₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B（2，0，0），M（0，2，h），A₁（0，0，4），C（0，2，0）（2分）

BM

＝(?2，2，h)，

A1C

＝(0，2，?4)（2分）
由BM⊥A₁C得，

BM

?

A1C

＝0，即2×2-4h=0
解得h=1（2分）
（2）由题意知，平面ABC的一个法向量为

n

＝(0，0，1)，

AM

＝(0，2，h)（2分）
因为直线AM与平面ABC所成的角为

π

4

，所以

2

2

＝

h

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