Question

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的单调递减区间是（-1，3），且在x=1处的切线方程为：12x+y-13=0．（1）求函

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的单调递减区间是（-1，3），且在x=1处的切线方程为：12x+y-13=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间[-4，4]上的最值；（3）若过点（0，m）有且只有一条直线与f（x）相切，求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d
∴f'（x）=3ax²+2bx+c，
∵f（x）=ax³+bx²+cx+d的单调递减区间是（-1，3），
∴f'（x）=3ax²+2bx+c＜0的解集为（-1，3），
∴f'（x）=0的两个根为-1和3，
∴

3a＞0 ?1+3＝? 2b 3a ?1×3＝ c 3a

，①
∵f（x）在x=1处的切线方程为：12x+y-13=0，
∴

f′(1)＝3a+2b+c＝?12 f(1)＝a+b+c+d＝1

，②
由①②，可得a=1，b=-3，c=-9，d=12，
∴f（x）=x³-3x²-9x+12；
（2）由（1）得到f'（x）=0的两个根为-1和3，
∴f（-4）=-64，f（-1）=17，f（3）=-15，f（4）=-8，
∴函数f（x）在区间[-4，4]上的最小值为-64，最大值为17；
（3）∵f（x）=x³-3x²-9x+12，
∴f′（x）=3x²-6x-9，
设切点为（t，f（t）），
则切线的斜率k=f′（t）=3t²-6t-9，
又切线过点（0，m），则由两点间斜率公式，可得k=

f(t)?m

t

，
∴3t²-6t-9=

f(t)?m

t

，即g（t）=2t³-3t²+m-12=0只有一个解，
∵g′（t）=6t²-6t=6t（t-1），
令g′（t）=0，可得t=0或t=1，
当t∈（-∞，0）和（1，+∞）时，g′（t）＞0，即g（t）在（-∞，0）和（1，+∞）上单调递增，
当t∈（0，1）时，g′（t）＜0，即g（t）在（0，1）上单调递减，
∴当t=0时，g（t）取得极大值g（0）=m-12，当t=1时，g（t）取得极小值g（1）=m-13，
∵g（t）=2t³-3t²+m-12=0只有一个解，
∴m-12＜0或m-13＞0，解得m＜12或m＞13，
∴m的取值范围为m＜12或m＞13．