Question

已知双曲线C: x2 /a2- y2/b2=1(a＞0,b＞0)一个焦点是F（2，0），离心率e=2.

若以k(k≠0)为斜率的直线L与双曲线C相交于两个不同的点M,N，线段MN的垂直平方线与两坐标轴围成三角形的面积为4，求实数k的取值范围。

Answer 1

c=2,e=c/a=2,
∴a=1,b^2=c^2-a^2=3,
∴C:x^2-y^2/3=1.①
设L:y=kx+m,②
代入①*3,得3x^2-(k^2x^2+2kmx+m^2)=3,
整理得(3-k^2)x^2-2kmx-m^2-3=0,
△/4=k^2m^2+(3-k^2)(m^2+3)=3m^2+9-3k^2>0,
∴k^2<m^2+3,③
设M(x1,y1),N(x2,y2),则MN的中点坐标:
x=(x1+x2)/2=km/(3-k^2),
由②，y=k^2m/(3-k^2)+m=3m/(3-k^2),
∴MN的垂直平分线方程是y-3m/(3-k^2)=(-1/k)[x-km/(3-k^2)],
它交x轴于A(4km/(3-k^2),0),交y轴于B(0，4m/(3-k^2)),
∴S△AOB=(1/2)|OA||OB|=8|k|m^2/|3-k^2|=4,
∴2|k|m^2=|3-k^2|,m^2=|3-k^2|/(2|k|),
代入③，k^2<|3-k^2|/(2|k|)+3,
∴k^2-3<|3-k^2|/(2|k|)④
化为两个不等式组：
1）0<|k|<√3时④恒成立；
2）|k|>√3,④变为2|k|<1,矛盾。
综上，0<|k|<√3，
∴k的取值范围是(0,√3)∪(-√3,0）.