Question

已知双曲线C：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴、y轴

已知双曲线C：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于A，B两点．（1）求证：直线l与双曲线C只有一个公共点；（2）设直线l与双曲线C的公共点为M，且AM＝λAB，证明：λ+e2=1；（3）设P是点F1关于直线l的对称点，当△PF1F2为等腰三角形时，求e的值．

Answer 1

（1）证明：因为A、B分别是直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点，
所以点A、B的坐标分别是A(?

a2

c

 ， 0)，B（0，a），
解

y＝ex+a x2 a2 ? y2 b2 ＝1

整理得 x²+2cx+c²=0，解得

x＝?c y＝? b2 a

即M(?c，?

b2

a

)，
所以直线l与双曲线C只有一个公共点、…（3分）
（2）因为

AM

＝λ

AB

，所以(?c+

a2

c

，?

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