Question

已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2，离心率为e

直线l：y=ex+a与x，y轴交于点A，B(1)求证：直线l与双曲线只有一个公共点（2）设直线与双曲线公共点为M，且向量AM=k倍向量AB，证明：k+e^2=1（3）设P是点F1关于直线l的对称点，当△PF1F2为等腰三角形时，求e

Answer 1

已知双曲线C：x²/a²-y²/b²=1（a>0,b>0)的左右焦点分别为F₁、F₂，离心率为e；
直线l：y=ex+a与x，y轴交于点A，B；1)求证：直线l与双曲线只有一个公共点；（2）设直线与双曲线公共点为M，且向量AM=k倍向量AB，证明：k+e^2=1；（3）设P是点F1关于直线l的对称点，当△PF₁F₂为等腰三角形时，求e。
解：(1)。将y=ex+a代入双曲线方程得 x²/a²-(ex+a)²/b²=1；去分母得b²x²-a²(ex+a)²-a²b²=0；
展开化简得 (b²-a²e²)x²-2a³ex-a⁴-a²b²=(b²-c²)x²-2a²cx-a²c²=0.............(1)；由于其判别式：
△=4a⁴c²+4[(b²-c²)a²c²]=4a⁴c²-4a⁴c²=0，故直线L与双曲线C只有一个交点。
【其中反复用了关系式：a²+b²=c²；e=c/a；】
(2).直线L与x轴的交点A：令y=0，得x=-a/e=-a²/c；即A(-a²/c，0)；令x=0，得y=a，故B(0，a)；
由(1) (b²-c²)x²-2a²cx-a²c²=0，得交点M的横坐标x=2a²c/[2(b²-c²)]=-c，纵坐标y=-√[b²(c²/a²-1)]
=-b²/a；点A内分MB，设其分比为λ，则λ=MA/AB=-AM/AB=-K；故按分点坐标公式：
xA=(xM+λxB)/(1+λ)，其中λ=-k，xM=-c，xB=0，xA=-a²/c；代入即得：
-c/(1-k)=-a²/c，即有k=1-c²/a²=1-e²，∴k+e²=1.故证。