Question

请阅读下列材料：问题：已知方程x2+x-3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍解：设所

请阅读下列材料：问题：已知方程x2+x-3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=y2．把x=y2代入已知方程，得(y2)2+y2?3＝0化简，得y2+2y-12=0故所求方程为y2+2y-12=0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．（1）已知方程x2+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍，则所求方程为______（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；（3）已知关于x的方程x2-mx+n=0有两个实数根，求一个方程，使它的根分别是已知方程根的平方．

Answer 1

（1）设所求方程的根为y，则y=3x，
所以x=

y

3

．
把x=

y

3

代入已知方程，得
(

y

3

)2+

y

3

?1＝0
化简，得y²+3y-9=0，
故所求方程为y²+3y-9=0．
故答案是：y²+3y-9=0；

（2）设所求方程的根为y，则y=

1

x

（x≠0），于是x=

1

y

（y≠0）
把x=

1

y

代入方程ax²+bx+c=0，得a（

1

y

）²+b?

1

y

+c=0
去分母，得a+by+cy²=0．
若c=0，有ax²+bx=0，于是方程ax²+bx+c=0有一个根为0，不符合题意，
∴c≠0，
故所求方程为cy²+by+a=0（c≠0）；

（3）设所求方程的根为y，则y=x²，
所以x=±

y

．
①当x=

y

时，
把x=

y

代入已知方程，得
(

y

)2-m

y

+n=0，即y-m

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