Question

已知函数f(x)=x²＋(x－1)｜x－a｜

已知函数f(x)=x²＋(x－1)｜x－a｜
(1)若a=﹣1，解方程f(x)=1
(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围
（3）若a＜1且不等式f(x)≥2x－3对一切实数x∈R恒成立，求a的取值范围

Answer 1

解:f(x)在R上连续不断。

f(x)={(a+1)x-a, (x<a)
{2x^2-(a+1)x+a, (x≥a)

(1)a=-1时
f(x)={1, (x≤-1)
{2x^2-1, (x>-1)
由f(x)=1解得 x≤-1 或 x=1
即方程的解是: x≤-1 或 x=1

(2)f(x)在R上连续不断,f(x)在R上单增的充要条件是在两段上都单增。
得a可取的充要条件是 (a+1)>0 且 (a+1)/2≤a
解得 a≥1
所以 实数a的取值范围是a≥1

(3)a<1时 设g(x)=f(x)-2x+3
f(x)≥2x－3对一切实数x∈R恒成立,就是
g(x)={(a-1)x-a+3, (x<a)
{2x^2-(a+3)x+a+3, (x≥a)
满足g(x)≥0对一切实数x∈R恒成立.

由a<1得x∈(-∞,a)时,g(x)在其上单减
y=2x^2-(a+3)x+a+3的对称轴x=(a+3)/4>(a+3a)/4>a
且g(x)在R上连续不断
得g(x)在x=(a+3)/4处取得最小值g((a+3)/4)=(-1/8)(a+3)(a-5)

a可取的充要条件是 a<1 且 (-1/8)(a+3)(a-5)≥0
解得 -3≤a<1

所以实数a的取值范围是-3≤a<1

较难的题,希望能帮到你！