Question

如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点

如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F． （1）求证：DP∥AB；（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．

Answer 1

解：（1）证明：如图，连接OD， ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°。 ∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD=∠BCD=45°。 ∴∠DAB=∠ABD=45°。∴△DAB为等腰直角三角形。 ∴DO⊥AB。 ∵PD为⊙O的切线，∴OD⊥PD。 ∴DP∥AB。 （2）在Rt△ACB中， ， ∵△DAB为等腰直角三角形，∴ 。 ∵AE⊥CD，∴△ACE为等腰直角三角形。∴ 。 在Rt△AED中， ， ∴ 。 ∵AB∥PD，∴∠PDA=∠DAB=45°。∴∠PAD=∠PCD。 又∵∠DPA=∠CPD，∴△PDA∽△PCD。∴ 。 ∴PA= PD，PC= PD。 又∵PC=PA+AC，∴ PD+6= PD，解得PD= 。

试题分析：（1）连接OD，由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理得∠ACB=90°，再由∠ACD=∠BCD=45°，则∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB为等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根据切线的性质得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB。 （2）先根据勾股定理计算出AB=10，由于△DAB为等腰直角三角形，可得到 ；由△ACE为等腰直角三角形，得到 ，在Rt△AED中利用勾股定理计算出DE= ，则CD= ，易证得∴△PDA∽△PCD，得到 ，所以PA= PD，PC= PD，然后利用PC=PA+AC可计算出PD。