Question

定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log 2 3且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求证f（

定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log 2 3且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求证f（x）为奇函数；（2）若f（k·3 x ）+f（3 x ﹣9 x ﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）证明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R）， ① 令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0． 令y=﹣x，代入①式，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），又f（0）=0， 则有 0=f（x）+f（﹣x）．即f（﹣x）=﹣f（x） 对任意x∈R成立，所以f（x）是奇函数． （2）解：f（3）=log 2 3＞0，即f（3）＞f（0）， 又f（x）在R上是单调函数，所以f（x）在R上是增函数， 又由（1）f（x）是奇函数． f（k?3 x ）＜﹣f（3 x ﹣9 x ﹣2）=f（﹣3 x +9 x +2）， k?3 x ＜﹣3 x +9 x +2， 令t=3 x ＞0，分离系数得：  ， 问题等价于  ，对任意t＞0恒成立． ∵  ， ∴  ．