Question

设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，S6=22．（1）求Sn；（2）若从{an}中抽取一个公比为q的等比数列{

设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，S6=22．（1）求Sn；（2）若从{an}中抽取一个公比为q的等比数列{bkn}，其中k1=1，且k1＜k2＜…＜kn＜…，kn∈N*．①当q取最小值时，求{kn}的通项公式；②若关于n（n∈N*）的不等式6Sn＞kn+1有解，试求q的值．

Answer 1

（1）设等差数列的公差为d，则
∵a₁=2，S₆=22，
∴6?2+

6?5

2

d=22，
∴d=

2

3

，
∴S_n=

n(n+5)

3

；
（2）①数列{a_n}是正项递增等差数列，故数列{akn}的公比q＞1，
若k₂=2，则由a2＝

8

3

，得q=

4

3

，此时ak3=2?（

4

3

）²=

32

9

，由

32

9

=

2

3

（n+2）
解得n=

10

3

?N^*，∴k₂＞2，同理k₂＞3；
若k₂=4，则由a₄=4得q=2，此时akn=2?2^n-1组成等比数列，
∴2?2^n-1=

2

3

（m+2），
∴3?2^n-1=m+2，对任何正整数n，只要取m=3?2^n-1-2，即akn是数列{a_n}的第3?2^n-1-2项．最小的公比q=2．
∴kn＝3?2n?1?2．
②∵akn=

2kn+4

3

=2?q^n-1，∴k_n=3q^n-1-2，
∵6S_n＞k_n+1有解，
∴

2n(n+5)+2

3qn

＞1有解，
q=2，3，4时，n=1，都符合题意；
下面证明q≥5时，

2n(n+5)+2

3qn

＞1无解．
设b_n=

2n(n+5)+2

3qn

，则b_n+1-b_n=

2[(1?q)n2+(7?5q)n+7?q]

3qn+1

，
∵

5q?7

2?2q

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