求中心在原点的椭圆5x^2+4xy+8y^2=1的长半轴和短半轴的长度
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坐标旋转公式u=xcosω+ysinω,v=ycosω-xsinω
代入椭圆标准方程u^2/a^2+b^2/b^2=1得:
(xcosω+ysinω)^2/a^2+(ycosω-xsinω)^2/b^2=1
整理得:((cosω/a)^2+(sinω/b)^2)x^2+2xysinωcosω(1/a^2-b^2)+((sinω/a)^2+(cosω/b)^2)y^2=1
与5x^2+4xy+8y^2=1对比系数得方程组:
(cosω/a)^2+(sinω/b)^2=5
2sinωcosω(1/a^2-1/b^2)=4
(sinω/a)^2+(cosω/b)^2=8
解方程组得:(sinω)^2=4/5,b^2=1/4,a^2=1/9
或(sinω)^2=1/5,b^2=1/9,a^2=1/4
所以椭圆长半轴为1/2,短半轴为1/3
代入椭圆标准方程u^2/a^2+b^2/b^2=1得:
(xcosω+ysinω)^2/a^2+(ycosω-xsinω)^2/b^2=1
整理得:((cosω/a)^2+(sinω/b)^2)x^2+2xysinωcosω(1/a^2-b^2)+((sinω/a)^2+(cosω/b)^2)y^2=1
与5x^2+4xy+8y^2=1对比系数得方程组:
(cosω/a)^2+(sinω/b)^2=5
2sinωcosω(1/a^2-1/b^2)=4
(sinω/a)^2+(cosω/b)^2=8
解方程组得:(sinω)^2=4/5,b^2=1/4,a^2=1/9
或(sinω)^2=1/5,b^2=1/9,a^2=1/4
所以椭圆长半轴为1/2,短半轴为1/3
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