Question

离散数学，集合证明题。

我有两个问题需要大侠们帮助。

1. 证明它是正确的或是错误的：如果 P(A)=P(B)，则A=B
2. 证明它是正确的或是错误的：如果 A∩C=B∩C，则A=B

急！！！
请各位大侠帮忙的时候，能够用数学证明，而不是举个例子。。谢谢了。

Answer 1

1.错误 这里P是一个作用于A=B的映射 如果P是多一对应的（譬如P作为一个常值函数 它把1和-1都映射为0 ） 那么就推不出A=B（1和-1显然不相等 ）
2.错误 A∩C=B∩C 顾名思义 指的是AC的公共部分和BC的公共部分相同 如果AC不公共的部分和BC不公共的部分不同 那么A还是不等于B
原命题等价于逆否命题 你可以证明逆否命题：
1.“如果 P(A)=P(B)，则A=B” 等价于 “若A不等于B,则P(A)不等于P(B)”
显然的 如果P是一个把A B映成同一个值的映射 那么P(A)=P(B) 也就是说原命题不成立

集合的证明题是属于集合论的范畴 并没有你所谓的“数学证明”我们在这里举例子就是叫反证法 对于证明命题不成立是一种严格的证明方法 已经可以了

Answer 2

1、错误，比如全集U是1男一女的集合，A事件是抽中一个男生概率P(A)=1/2，B事件事抽中一个女生概率P(B)=1/2，P(A)=P(B),但A不等于B
2、错误，比如A={1,2,3}，B={3},C={3,4}

Answer 3

1. 是正确的.证明：x属于A等价于{x} 属于P(A)，由P(A)=P(B)可知，{x} 属于P(A)又等价于{x} 属于P(B)，{x} 属于P(B)等价于x属于B，故得：x属于A等价于x属于B，于是得A=B
2. 是错误的：对任意A，B， A∩空集=B∩空集=空集，但A不一定等于B

Answer 4

1.
左式
=
(A∪B)
∩
(-A∪C)
=
(
(A∪B)∩-A)
∪
((A∪B)∩C
)
=
(A∩
-A)∪(B∩-A)
∪
(A∩C)∪(B∩C)
=
Φ∪(B∩-A)
∪
(A∩
C)∪(B∩C)
=
(B∩-A)
∪
(A∩
C)∪(B∩
C)
=
(-A∩B)
∪
(A∩
C)
∪
(B∩C)
=
(-A∩B)
∪
(A∩
C)
∪
(B∩C∩(A∪-A))
=
(-A∩B)
∪
(A∩
C)
∪
(B∩C∩A)
∪
(B∩C∩-A)
=
(-A∩B∩C)∪(-A∩B)
∪
(A∩
C)
∪
(A∩B∩C)
=
(-A∩((B∩C)∪(B)))
∪
(A∩(C∪(B∩C))
=
(-A∩B
)
∪
(A∩C)
=
右式
2.
右式

=
A∪(B∩C)

=
(A∪B)∩(A∪C)

=
左式