Question

物理题，一道力学问题

如图，固定平台上用枢轴装置一竿，倒在地板上以前它可以无摩擦地或左或右转动。现在竿与垂直位置夹角为a，拿住竿，然后没有初速度地放开它。假设竿是均匀的。
求竿落地所用的时间。竿的质量等物理量可以自行选择字母代替。要求让我明白为什么a趋于0的时候，下落的时间趋于无穷。

Answer 1

求解很简单，用一个转动方程两次积分就可以了。最后所需的时间可表示为：
t0=(L*cosa/3g)^0.5[S(0~1)dx/((1-x)(1-(xcosa)^2))^0.5] （S(0~1)表示从0到1的积分）
其中L为杆的长度，g为重力加速度。很显然当a-->0时，积分发散到正无穷大，也就是说只要取一个很小的适当角度a，可以通过上式计算出的时间达到任何指定数值（只要a不为零，积分就是收敛的），这与实际情况不符。原因是a=0处的位置，是一个平衡位置，从理论上讲，是不会运动的。要使杆运动，必须有干扰，而干扰的产生，会使杆获得角速度，尽管很小，大小不确定，但它能保证不出现无限长的时间，在实际计算中常忽略，因为杆落地的时间不是兴趣中心，兴趣中心是落地的角速度，角加速度等。有人会说我在一个很小的适当角度a，无速度放开，落地时间也是很大的。这个时候重力对轴心的矩非常小，说不定杆和轴间的摩擦产生的矩，以及其它一些因素还要起作用，不是理想的情况了，你用理想情况下的方程就说明不了问题，这么小的角度放手也许杆还静止着呢。

追问

关键是怎么求解……那个时间的表示怎么来的？我物理只有高中水平，微积分应该没问题。受力分析以后发现根本无从下手……能不能讲讲，或者说一下应该看那部分知识，理论力学吗？谢谢啊

追答

设杆与铅垂线的夹角为b，则基本方程为
(mL^2/3)d^2b/dt^2=mg(L/2)sinb (d^2b/dt^2表示b对时间的二阶导数，即杆的角加速度）
下面进行数学变换
d^2b/dt^2=(db/dt)d(db/dt)/db （db/dt是杆的角速度）
基本方程化为，（db/dt)d(db/dt)=(3g/2L)(sinb)db
积分， （db/dt)^2/2=-(3g/2L)cosb+C
其中C为积分常数。初始条件为：t=0时，b=a，db/dt=0，可得
C=(3g/2L)cosa
所以 db/dt=((3g/L)^0.5)*(cosa-cosb)^0.5
或 db/(cosa-cosb)^0.5=((3g/L)^0.5)dt
再积分，初始条件为：当t=0时，b=a，当t=t0时，b=(pai)/2
S(a~(pai)/2)db/(cosa-cosb)^0.5=S(0~t0)((3g/L)^0.5)dt=((3g/L)*0.5)t0
最后你做点积分变换，即可得到我给你答案中的落地时间。
对一个中学生有点难。一个是力学概念：角速度，角加速度，转动方程。一个是数学积分变换。你可以看看大学物理中刚体定轴转动那一部分，看看高等数学中的积分，以及积分中的变换。

Answer 2

a趋近于零，下落时间趋近于0吧。。不是无穷

追问

a是于垂直位置的夹角。下落时间的结果与直觉是一致的。要是把竿竖起来，它就永远掉不下去了

追答

那我理解错了。。你没有外力，杆均匀只受重力，那就是垂直向下的，a=0，就是杆垂直于平台。。
那么力和杆本身都是垂直于平台的，就是杆只会垂直于平台运动，平台垂直方向固定，所以杆不会动

追问

恩。。我想看数学上的分析。我问的是a趋于0的时候，不是a=0的时候。