Question

f(x)=x∧2＋4x 求f(x)的n次迭代

Answer 1

f(x)=x(x+4)

令f(x)=x，即x²+4x=x
解得x=0或-3
这是f(x)的不动点。

f⁽²⁾(x)-x＝(f(x)-x)g(x)
即x(x+4)(x(x+4)+4)-x=x(x+3)g(x)

则g(x)=[x(x+4)(x(x+4)+4)-x]/[x(x+3)]
=[x²(x+4)²+4x(x+4)-x]/[x(x+3)] ①

因此
(f⁽³⁾(x)-x)＝(f⁽²⁾(x)-x)(f(x)-x)＝(f(x)-x)²g(x)
类似地

则f⁽ⁿ⁾x－x＝(f(x)-x)ⁿ⁻¹g(x)
=(x(x+3))ⁿ⁻¹g(x)
=(x(x+3))ⁿ⁻¹[x²(x+4)²+4x(x+4)-x]/[x(x+3)]
=(x(x+3))ⁿ⁻²[x²(x+4)²+4x(x+4)-x]
＝(x(x+3))ⁿ⁻²[x⁴+8x³+20x²+15x]
=xⁿ⁻¹(x+3)ⁿ⁻²(x³+8x²+20x+15)

则
f⁽ⁿ⁾x＝xⁿ⁻¹(x+3)ⁿ⁻²(x³+8x²+20x+15)＋x

追问

不懂

上角标的（2）啥意思。2次迭代吗

追答

是的。

追问

追答

设f(x)=sinx /x

|f(x)-f(y)|²=f²(x)+f²(y)-2f(x)f(y)
=sin²x /x² + sin²y /y² - 2sinx siny /xy
≤1/x² + 1/y² - 2xy /xy
=1/x² + 1/y² - 2
≤2|1/x - 1/y|

则|f(x)-f(y)|²≤2|1/x-1/y|
|f(x)-f(y)|≤√(2|1/x-1/y|)
即
|sinx/x - siny/y|≤√(2|1/x-1/y|)

追问

可不可以用极限做

好像错了

应该是sin²x/x²+sin²y/y²-(2sinxsiny)/xy≤
1/x²+1/y²-(2sinxsiny)/xy